Descubre qué son los números reales, sus características y cómo se utilizan en las matemáticas y la vida cotidiana. Explora la definición y los tipos de números reales para comprender mejor este concepto matemático fundamental.
¿Qué es un Número Real?
¿Qué es un número? Bueno eso depende. Hay una variedad de diferentes tipos de números, cada uno con sus propiedades particulares. Un tipo de número, en el que se basan las estadísticas, la probabilidad y gran parte de las matemáticas, se llama un número real.
Para saber qué es un número real, primero haremos un breve recorrido por otros tipos de números.
Tipos de numeros
Primero aprendemos sobre los números para contar. Comenzamos con hacer coincidir los números 1, 2 y 3 con nuestros dedos. Luego seguimos avanzando tan alto como pudimos, lo que probablemente no fue tan alto. Estos números de conteo o números naturales fueron los únicos números que conocimos.
Más tarde, al tratar con la resta, se introdujeron números enteros negativos. El conjunto de números enteros positivos y negativos se denomina conjunto de números enteros. Poco después de esto, se consideraron los números racionales, también llamados fracciones. Como cada entero se puede escribir como una fracción con 1 en el denominador, decimos que los enteros forman un subconjunto de los números racionales.
Los antiguos griegos se dieron cuenta de que no todos los números pueden formarse como una fracción. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 2 no se puede expresar como una fracción. Este tipo de números se llaman números irracionales. Los números irracionales abundan, y de manera algo sorprendente, en cierto sentido, hay más números irracionales que números racionales. Otros números irracionales incluyen pi y e.
Expansiones decimales
Cada número real puede ser escrito como un decimal. Diferentes tipos de números reales tienen diferentes tipos de expansiones decimales. La expansión decimal de un número racional está terminando, como 2, 3.25 o 1.2342, o se está repitiendo, como .33333. . . O .123123123. . . En contraste con esto, la expansión decimal de un número irracional no termina y no se repite. Podemos ver esto en la expansión decimal de pi. Hay una cadena de dígitos sin fin para pi, y lo que es más, no hay una cadena de dígitos que se repita indefinidamente.
Visualización de números reales
Los números reales se pueden visualizar asociando cada uno de ellos a uno de los infinitos puntos a lo largo de una línea recta. Los números reales tienen un orden, lo que significa que para dos números reales distintos podemos decir que uno es mayor que el otro. Por convención, moverse hacia la izquierda a lo largo de la recta numérica real corresponde a números menores y menores. Moverse a la derecha a lo largo de la recta numérica real corresponde a números cada vez mayores.
Propiedades básicas de los números reales
Los números reales se comportan como otros números con los que estamos acostumbrados. Podemos sumarlos, restarlos, multiplicarlos y dividirlos (siempre y cuando no dividamos por cero). El orden de adición y multiplicación no es importante, ya que hay una propiedad conmutativa. Una propiedad distributiva nos dice cómo la multiplicación y la suma interactúan entre sí.
Como se mencionó anteriormente, los números reales poseen una orden. Dado cualquiera de los dos números reales x y y, sabemos que uno y solo uno de los siguientes es verdadero:
x = y, x y.
Otra propiedad – integridad
La propiedad que establece los números reales aparte de otros conjuntos de números, como los racionales, es una propiedad conocida como integridad. La integridad es un poco técnico para explicar, pero la idea intuitiva es que el conjunto de números racionales tiene vacíos. El conjunto de números reales no tiene ningún hueco, porque está completo.
A modo de ilustración, observaremos la secuencia de los números racionales 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,. . . Cada término de esta secuencia es una aproximación a pi, obtenida al truncar la expansión decimal para pi. Los términos de esta secuencia se acercan más y más a pi. Sin embargo, como hemos mencionado, pi no es un número racional. Necesitamos usar números irracionales para tapar los orificios de la línea numérica que ocurren solo considerando los números racionales.
¿Cuántos números reales?
No debería sorprender que haya un número infinito de números reales. Esto se puede ver con bastante facilidad cuando consideramos que los números enteros forman un subconjunto de los números reales. También podríamos ver esto al darnos cuenta de que la recta numérica tiene un número infinito de puntos.
Lo sorprendente es que el infinito usado para contar los números reales es de un tipo diferente al infinito usado para contar los números enteros. Los números enteros, los enteros y los racionales son infinitamente contables. El conjunto de números reales es infinitamente infinito.
¿Por qué llamarlos reales?
Los números reales obtienen su nombre para diferenciarlos de una generalización aún mayor del concepto de número. El número imaginario i se define como la raíz cuadrada de uno negativo. Cualquier número real multiplicado por i también se conoce como un número imaginario. Los números imaginarios definitivamente extienden nuestra concepción del número, ya que no son en absoluto lo que pensamos cuando aprendimos a contar por primera vez.
