¿Quién es Carl Friedrich Gauss? Información sobre la biografía de Carl Friedrich Gauss, historia de vida, obras y contribuciones a las matemáticas.
Carl Friedrich Gauss
Carl Friedrich Gauss; (1777-1855), el matemático y científico alemán reconoció ser uno de los tres matemáticos más destacados de todos los tiempos, siendo los otros Arquímedes y Newton. Su trabajo sobresaliente incluye el descubrimiento del método de mínimos cuadrados, el descubrimiento de geometría no euclidiana y contribuciones importantes a la teoría de números.
Gauss nació en Brunswick, Alemania, el 30 de abril de 1777. Era un niño excepcionalmente precoz. Se dice que a la edad de tres años detectó un error en la contabilidad de su padre. Cuando tenía diez años, sorprendió al maestro de escuela local al sumar mentalmente los enteros de uno a cien. Con el apoyo financiero del duque de Brunswick, Gauss ingresó en el Collegium Carolinum en Brunswick a los 15 años. Hasta su muerte en 1806, el duque apoyó a Gauss.
En 1795, Gauss fue admitido en la Universidad de Gotinga. Para entonces ya había hecho el importante descubrimiento del método de los mínimos cuadrados, pero no había decidido si su mayor interés era la filología o las matemáticas. Eligió este último en 1796, cuando descubrió cómo construir un polígono regular de 17 lados, usando solo una brújula y una regla. Gauss ingresó el método como el primer elemento en un diario matemático que mantuvo hasta 1814. Este diario permite verificar la prioridad de Gauss en muchos de los descubrimientos que no publicó.
Lo más sorprendente entre los descubrimientos inéditos de Gauss es el de la geometría no euclidiana. Con Farkas Bolyai, un compañero de estudios en Gotinga, Gauss había discutido los intentos de probar el postulado paralelo de Euclides. Para 1824 había concluido que era posible desarrollar geometría basada en la negación del postulado. No publicó su trabajo, probablemente debido a su naturaleza controvertida. Un segundo descubrimiento sorprendente fue el de las álgebras no conmutativas, anunciadas en 1843 por Sir William Hamilton y en 1844 por Hermann Grassmann. Ahora se sabe que Gauss los había anticipado por muchos años, pero nuevamente no pudo publicar sus resultados.
En 1799, Gauss obtuvo su doctorado en la Universidad de Helmstedt. Su tesis contenía la primera prueba del teorema fundamental del álgebra, que establece que cada ecuación algebraica tiene una raíz de la forma a + bi, donde a y b son números reales e i es la raíz cuadrada de menos uno. Los números de la forma a + bi ahora se conocen como números complejos o, si a y b son números enteros, como enteros gaussianos. La prueba de Gauss implica una representación geométrica de números complejos, conocida como el plano gaussiano.
Gauss desarrolló la teoría de las funciones elípticas. Descubrió que las funciones trigonométricas, definidas a través de la inversa de f (x) =
∫ dx / √ (1 – x²), son un caso especial de una clase más general de funciones, conocidas como funciones elípticas, derivadas como la inversa de f (x) = ∫ dx / √ (1 – xˆ4) Los primeros tienen solo un período, 2tt, pero los segundos tienen dos períodos distintos. Sin embargo, no publicó sus resultados. La notable propiedad de la doble periodicidad fue redescubierta y publicada por Niels Abel y Karl Jacobi en 1827-1829.
La reputación de Gauss se estableció en 1801 a través de la publicación de su mayor tratado, un libro sobre la teoría de los números titulado Disquisitiones arithmeticae. Este trabajo, dedicado al duque de Brunswick, desarrolló un nuevo álgebra, el álgebra de la congruencia. Para esto, introdujo la notación b ≡ c (mod a), que todavía es estándar en la teoría de números. El símbolo ≡ para congruencia le pareció apropiado a Gauss en que tenía muchas propiedades en común con la relación ordinaria de igualdad, pero el álgebra de congruencia difiere en aspectos importantes del álgebra de igualdad. Por ejemplo, si ax = ay (donde a ≠ 0), entonces x = y; pero si ax ≡ ay (mod m), no se sigue que x ≡ y (mod m) a menos que a sea primo para m.
Entre las propiedades de congruencia probadas en las Disquisitiones hay una que su autor llamó «la gema de la aritmética»: si pyq son primos, entonces x² ≡ q (mod p) y x² ≡ p (mod q) pueden resolverse o ambos insolubles, a menos que pyq tengan la forma 4n + 3, en cuyo caso uno es solucionable y el otro no. Esta «ley de reciprocidad cuadrática» había sido expresada en forma alternativa por Legendre, un celoso rival en varias ramas matemáticas.
El libro también incluye una prueba rigurosa del teorema fundamental de la aritmética, que afirma la factorabilidad única de cada entero en factores primos. Para los enteros gaussianos, este teorema, vio, no se cumple. El número entero 5, por ejemplo, puede factorizarse en primos gaussianos de dos maneras: como (1 + 2i) (1 – 2i) o como (2 + i) (2 – i). La notación i para la raíz cuadrada de menos uno, usada ocasionalmente por Leonhard Euler, se estableció firmemente a través de este trabajo. Gauss planeó las Disquisitiones como un trabajo de 2 volúmenes, pero la segunda parte nunca apareció porque su atención se desvió a la astronomía. Más tarde, Gauss describió la teoría de los números como «la reina de las matemáticas», que a su vez era «la reina de las ciencias».
El 1 de enero de 1801, el asteroide Ceres fue descubierto por Giuseppe Piazzi. Pero después de un corto tiempo, durante el cual cubrió solo una pequeña porción de su órbita, se perdió en los rayos del sol. Recordando su método de mínimos cuadrados, Gauss no pudo resistir el desafío de calcular la órbita de Ceres a partir de los escasos datos disponibles. Su triunfo fue completo cuando, al final del año, el asteroide se vio claramente en la posición que había predicho. En 1802 su amigo Heinrich Olbers descubrió el asteroide Pallas, y Gauss también calculó su órbita.
Cuando, en 1807, Olbers encontró otro asteroide, Gauss le dio el nombre de Vesta y trazó su órbita. No fue hasta 1809, luego de investigaciones en estadísticas, que publicó sus métodos en el lema Theoria. El esquema que utilizó para calcular las órbitas a partir de un número limitado de observaciones se conoce como «método de Gauss» y es útil hoy en día en el seguimiento de satélites. Gauss escribió tan extensamente sobre la teoría de los errores de medición en el motivo de Theoria y trabajos posteriores que la distribución de frecuencia normal representada por la curva familiar en forma de campana a menudo se conoce como una «distribución gaussiana».
En 1807, Gauss aceptó un nombramiento como profesor de astronomía y director del Observatorio Got-tingen, un cargo que ocupó hasta el final de su vida. Parece haber sido influenciado por la posibilidad de muchas oportunidades de investigación, con poca responsabilidad por la enseñanza regular, por lo que no sintió atracción.
En 1809, su primera esposa, Johanna, con quien se había casado solo cuatro años antes, murió. Un año después se casó con Minna Waldeck, hija de un profesor de derecho de Gotinga. Tuvo tres hijos por cada matrimonio. Ninguno manifestó una habilidad matemática inusual.
En 1811, Gauss extendió el cálculo a funciones de una variable compleja y descubrió un teorema fundamental de integración:
si una función f (z) es analítica en todos los puntos en y dentro de una curva cerrada simple C en el plano gaussiano, entonces la integral de f (z) a lo largo de C es cero. El teorema se conoce hoy como el teorema integral de Cauchy, en reconocimiento de su redescubridor. De nuevo, Gauss no pudo publicar su trabajo. Cauchy también se asocia con mayor frecuencia con las pruebas para la convergencia de series infinitas de números, pero Gauss reconoció la necesidad de tales pruebas en 1812, cuando publicó un trabajo importante sobre la serie hipergeométrica. Este estudio fue tan minucioso que la serie generalmente lleva el nombre de Gauss.
En 1821, Gauss presentó a la Royal Society of Göttingen una memoria, Theoria combinaciones observaciónum erroribus minimis obnoxiae, en la que asociaba el método de mínimos cuadrados con el cálculo de probabilidades. En memorias posteriores aplicó el método a problemas de geodesia y física.
Mediante un tratado escrito en 1827, Disquisitiones circa superficies curvas, Gauss se convirtió en el fundador efectivo de la geometría diferencial. En este trabajo, que describió como una «metafísica del espacio», introdujo el concepto de la curvatura gaussiana o total de una superficie. Esta es una medida conveniente de la medida en que una superficie se aleja de la planeidad de un plano, para el cual la curvatura gaussiana es cero. Mostró que su medida de curvatura permanece sin cambios bajo una deformación continua de una superficie flexible e inextensible.
En 1828, Gauss emprendió para George IV la triangulación de todo el reino de Hannover, y sobre la base de este trabajo, Gauss publicó un importante trabajo de dos volúmenes, Untersuchungen über Gegenstände der höheren Geodäsie (1844-1847). Gauss escribió una vez: «Todas las mediciones en el mundo no valen un teorema por el cual la ciencia de las verdades eternas esté realmente avanzada», pero insistió en que sus actividades geodésicas, en comparación con otras demandas de su tiempo, eran relativamente útiles para la ciencia.
En el curso de sus actividades astronómicas y geodésicas, Gauss ideó el ocular Gauss, que todavía se usa para autocolimaciones en espectrómetros y refractómetros, e inventó el heliotropo.
Después de que Wilhelm Meyer se uniera a la facultad de Gotinga en 1831, él y Gauss se unieron en experimentos magnéticos y eléctricos. En 1832, Gauss leyó a la Royal Society de Gotinga un artículo clásico sobre magnetismo terrestre, Intensitas vis magneticae terrestris ad mensuram absolutam revocata, en el que propuso estándares de medición bien definidos. Una unidad de magnetismo fue nombrada más tarde por él.
En 1833, Gauss construyó un observatorio magnético que se convirtió en el centro de observación e investigación sobre las variaciones en la declinación magnética. En 1836, Gauss, Wilhelm Weber y Alexander von Humboldt fueron fundamentales para establecer la Unión Magnética Alemana, una red de estaciones que luego se convirtió en mundial. Gauss desarrolló el magnetómetro bifilar, y él y Weber idearon el galvanómetro espejo.
En 1833, Gauss y Weber pasaron un cable desde el observatorio hasta el laboratorio de física y colocaron electroimanes para tocar una campana en un extremo cuando el circuito se cerró en el otro.
Al darse cuenta de que su aparato sería útil para transmitir mensajes, los inventores publicaron una cuenta de su trabajo en 1834, y en 1835 Gauss habló de ello ante la Royal Society of Gottingen. En 1845, un año después del triunfo de Morse, el rayo destruyó el sistema telegráfico de Gauss y Weber. Su invento había recibido tan poca publicidad fuera de Alemania que Sir David Brewster en Inglaterra se enteró por primera vez en 1854. Escribió a Gauss para obtener más información, y Gauss respondió en la última carta que escribió antes de su muerte.
En 1845, la Universidad de Gotinga asignó a Gauss la tarea de supervisar el Fondo para Viudas e Hijos de Profesores, y en este sentido realizó importantes contribuciones en la aplicación de probabilidad y estadística a la ciencia actuarial.
La vida productiva de Gauss había abarcado más de medio siglo en 1849, cuando se celebró el jubileo de oro de su doctorado en Gotinga. En esta ocasión, volviendo al tema de su tesis, Gauss presentó una cuarta prueba del teorema fundamental del álgebra. La brillantez de su carrera ha justificado la caracterización ahora familiar de él como «el príncipe de los matemáticos». Gauss murió en Gotinga el 23 de febrero de 1855.
